插板法 插板法的3种解法


插板法 插板法的3种解法

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大家好,小跳来为大家解答以上的问题 。插板法的3种解法,插板法这个很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧!
1、插板法就是在n个元素间的(n-1)个空中插入若干个(b)个板,可以把n个元素分成(b+1)组的方法 。
2、应用插板法必须满足三个条件:(1)这n个元素必须互不相异(2)所分成的每一组至少分得一个元素(3)分成的组别彼此相异举个很普通的例子来说明把10个相同的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况?问题的题干满足条件(1)(2),适用插板法 , c92=36下面通过几道题目介绍下插板法的应用===================================================a凑元素插板法(有些题目满足条件(1),不满足条件(2),此时可适用此方法)例1:把10个相同的小球放入3个不同的箱子,问有几种情况?3个箱子都可能取到空球,条件(2)不满足,此时如果在3个箱子种各预先放入1个小球,则问题就等价于把13个相同小球放入3个不同箱子,每个箱子至少一个,有几种情况?显然就是c122=66-------------------------------------------------例2:把10个相同小球放入3个不同箱子,第一个箱子至少1个,第二个箱子至少3个,第三个箱子可以放空球,有几种情况?我们可以在第二个箱子先放入10个小球中的2个,小球剩8个放3个箱子 , 然后在第三个箱子放入8个小球之外的1个小球 , 则问题转化为把9个相同小球放3不同箱子,每箱至少1个 , 几种方法?c82=28==================================================b添板插板法例3:把10个相同小球放入3个不同的箱子,问有几种情况?-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o表示10个小球,-表示空位11个空位中取2个加入2块板 , 第一组和第三组可以取到空的情况,第2组始终不能取空此时若在第11个空位后加入第12块板,设取到该板时,第二组取球为空则每一组都可能取球为空c122=66--------------------------------------------------------例4:有一类自然数,从第三个数字开始,每个数字都恰好是它前面两个数字之和,直至不能再写为止,如257,1459等等 , 这类数共有几个?因为前2位数字唯一对应了符合要求的一个数,只要求出前2位有几种情况即可,设前两位为ab显然a+b<=9,且a不为01-1-1-1-1-1-1-1-1--1代表9个1,-代表10个空位我们可以在这9个空位中插入2个板,分成3组 , 第一组取到a个1,第二组取到b个1,但此时第二组始终不能取空,若多添加第10个空时,设取到该板时第二组取空,即b=0,所以一共有c102=45-----------------------------------------------------------例5:有一类自然数,从第四个数字开始 , 每个数字都恰好是它前面三个数字之和,直至不能再写为止,如2349,1427等等,这类数共有几个?类似的,某数的前三位为abc,a+b+c<=9,a不为01-1-1-1-1-1-1-1-1---在9个空位种插如3板,分成4组,第一组取a个1,第二组取b个1 , 第三组取c个1,由于第二 , 第三组都不能取到空,所以添加2块板设取到第10个板时,第二组取空,即b=0;取到第11个板时,第三组取空,即c=0 。
【插板法 插板法的3种解法】3、所以一共有c113=165============================================c选板法例6:有10粒糖,如果每天至少吃一粒(多不限),吃完为止,求有多少种不同吃法?o-o-o-o-o-o-o-o-o-oo代表10个糖 , -代表9块板10块糖,9个空,插入9块板,每个板都可以选择放或是不放,相邻两个板间的糖一天吃掉这样一共就是2^9=512啦=============================================d分类插板例7:小梅有15块糖,如果每天至少吃3块,吃完为止,那么共有多少种不同的吃法?此问题不能用插板法的原因在于没有规定一定要吃几天,因此我们需要对吃的天数进行分类讨论最多吃5天,最少吃1天1:吃1天或是5天,各一种吃法一共2种情况2:吃2天 , 每天预先吃2块,即问11块糖,每天至少吃1块,吃2天,几种情况?c101=103:吃3天,每天预先吃2块 , 即问9块糖,每天至少1块 , 吃3天?c82=284:吃4天,每天预先吃2块,即问7块糖 , 每天至少1块,吃4天?c63=20所以一共是2+10+28+20=60种=================================e二次插板法例8:在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目 , 共有几种情况?-o-o-o-o-o-o-三个节目abc可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位所以一共是c71×c81×c91=504种 。
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