![向量共线 向量共线的条件](http://img.hubeilong.com/240305/092P05551-0.jpg)
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关于向量共线的条件,向量共线这个很多人还不知道,今天小六来为大家解答以上的问题,现在让我们一起来看看吧!
1、如果a≠0,那么向量b与a共线的充要条件是:存在唯一实数λ,使得b=λa 。
2、证明:1)充分性:对于向量 a(a≠0)、b,如果有一个实数λ,使 b=λa,那么由实数与向量的积的定义 知,向量a与b共线 。
3、2)必要性:已知向量a与b共线,a≠0,且向量b的长度是向量a的长度的m倍,即 ∣b∣=m∣a∣ 。
4、那么当向量a与b同方向时,令 λ=m,有 b =λa,当向量a与b反方向时,令 λ=-m,有 b=-λa 。
5、如果b=0,那么λ=0 。
6、3)唯一性:如果 b=λa=μa,那么 (λ-μ)a=0 。
7、但因a≠0 , 所以 λ=μ 。
8、推论1两个向量a、b共线的充要条件是:存在不全为零的实数λ、μ,使得 λa+μb=0 。
9、证明:1)充分性,不妨设μ≠0,则由 λa+μb=0 得 b=(λ/μ)a 。
10、由 共线向量基本定理 知 , 向量a与b共线 。
11、2)必要性,已知向量a与b共线 , 若a≠0,则由共线向量基本定理知,b=λa,所以 λa-b=0,取 μ=-1≠0,故有 λa+μb=0,实数λ、μ不全为零 。
12、若a=0,则取μ=0,取λ为任意一个不为零的实数,即有 λa+μb=0 。
13、证毕 。
【向量共线 向量共线的条件】14、推论2两个非零向量a、b共线的充要条件是:存在全不为零的实数λ、μ,使得 λa+μb=0 。
15、证明:1)充分性 , ∵μ≠0,∴由 λa+μb=0 可得 b=(λ/μ)a 。
16、由 共线向量基本定理 知,向量a与b共线 。
17、2)必要性,∵向量a与b共线,且a≠0,则由 共线向量基本定理 知,b=λa;又∵b≠0,∴λ≠0; 取 μ=-1≠0,就有 λa+μb=0,实数λ、μ全不为零 。
18、证毕 。
19、推论3如果a、b是两个不共线的向量,且存在一对实数λ、μ,使得 λa+μb=0,那么λ=μ=0 。
20、证明:(反证法)不妨假设μ≠0,则由 推论1 知,向量a、b共线;这与已知向量a、b不共线矛盾,故假设是错的 , 所以λ=μ=0 。
21、证毕 。
22、推论4如果三点P、A、B不共线,那么点C在直线AB上的充要条件是:存在唯一实数λ,使得向量PC=(1-λ)向量PA+λ向量PB 。
23、(其中,向量AC=λ向量AB) 。
24、证明:∵三点P、A、B不共线,∴向量AB≠0,由 共线向量基本定理 得,点C在直线AB上 <=> 向量AC 与 向量AB 共线 <=> 存在唯一实数λ,使 向量AC=λ·向量AB∵三点P、A、B不共线,∴向量PA 与 向量PB 不共线,∴向量AC=λ·向量AB <=> 向量PC-向量PA=λ·(向量PB-向量PA) <=> 向量PC=(1-λ)向量PA+λ·向量PB 。
25、证毕 。
26、推论5如果三点P、A、B不共线,那么点C在直线AB上的充要条件是:存在唯一一对实数λ、μ,使得向量PC=λ向量PA+μ向量PB 。
27、(其中,λ+μ=1)证明:在推论4 中,令 1-λ=μ,则λ+μ=1,知:三点P、A、B不共线 <=> 点C在直线AB上的充要条件是:存在实数λ、μ , 使得向量PC=λ向量PA+μ向量PB 。
28、(其中,λ+μ=1)下面证唯一性,若 向量PC=m向量PA+n向量PB,则 m向量PA+n向量PB=λ向量PA+μ向量PB,即 , (m-λ)向量PA+(n-μ)向量PB=0,∵三点P、A、B不共线,∴向量PA 与 向量PB 不共线,由 推论3 知,m=λ,n=μ 。
29、证毕 。
30、推论6如果三点P、A、B不共线,那么点C在直线AB上的充要条件是:存在不全为零的实数λ、μ、ν , 使得λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0 , λ+μ+ν=0 。
31、证明:1)充分性,由推论5 知,若三点P、A、B不共线,则 点C在直线AB上 <=> 存在实数λ、μ,使得 向量PC=λ向量PA+μ向量PB(其中 , λ+μ=1) 。
32、取ν=-1,则有:λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0,λ+μ+ν=0,且实数λ、μ、ν不全为零 。
33、2)必要性,不妨设ν≠0 , 且有:λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0,λ+μ+ν=0,则 向量PC=(λ/ν)·向量PA+(μ/ν)·向量PB , (-λ/ν)+(-μ/ν)=1 。
34、由推论5 即知,点C在直线AB上 。
35、证毕 。
36、推论7点P是直线AB外任意一点 , 那么三不同点A、B、C共线的充要条件是:存在全不为零的实数λ、μ、ν,使得λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0,λ+μ+ν=0 。
37、证明:(反证法)∵点P是直线AB外任意一点,∴向量PA≠0,向量PB≠0,向量PC≠0 , 且 向量PA、向量PB、向量PC两两不共线 。
38、由推论6 知,实数λ、μ、ν不全为零,1)假设实数λ、μ、ν中有两个为零,不妨设λ≠0,μ=0 , ν=0 。
39、则 λ向量PA=0 , ∴向量PA=0 。
40、这与向量PA≠0 。
41、2)假设实数λ、μ、ν中有一个为零 , 不妨设λ≠0,μ≠0,ν=0 。
42、则 λ向量PA+μ向量PB=0 , ∴向量PA=(μ/λ)·向量PB , ∴向量PA 与 向量PB共线,这与向量PA 与 向量PB不共线矛盾 。
43、证毕 。
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