李冶则在前人的基础上， 将天元术改进成一种更简便而实用的方法 。 当时， 北方出了不少算书， 除《铃经》外， 还有《照胆》、《如积释锁》、《复轨》等， 这无疑为李冶的数学研究提供了条件 。 特别值得一提的是， 他在桐川得到了洞渊的一部算书， 内有九客之说， 专讲勾股容圆问题 。 此书对他启发甚大 。 为了能全面、深入地研究天元术， 李冶把勾股容圆(即切圆)问题作为一个系统来研究 。 他讨论了在各种条件下用天元术求圆径的问题， 写成《测圆海镜》十二卷， 这是他一生中的最大成就 。

文章插图
测圆海镜
《测圆海镜》不仅保留了洞渊九容公式， 即9种求直角三角形内切圆直径的方法， 而且给出一批新的求圆径公式 。 卷一的“识别杂记”阐明了圆城图式中各勾股形边长之间的关系以及它们与圆径的关系， 共六百余条， 每条可看作一个定理（或公式）， 这部分内容是对中国古代关于勾股容圆问题的总结 。 后面各卷的习题， 都可以在“识别杂记”的基础上以天元术为工具推导出来 。 李冶总结出一套简明实用的天元术程序， 并给出化分式方程为整式方程的方法 。 他发明了负号和一套先进的小数记法， 采用了从零到九的完整数码 。 除O以外的数码古已有之， 是筹式的反映 。 但筹式中遇O空位， 没有符号O 。 从现存古算书来看， 李冶的《测圆海镜》和秦九韶《数书九章》是较早使用O的， 它们成书的时间相差不过一年 。 《测圆海镜》重在列方程， 对方程的解法涉及不多 。 但书中用天元术导出许多高次方程（最高为六次）， 给出的根全部准确无误， 可见李冶是掌握高次方程数值解法的 。
《测圆海镜》不仅是我国现存最早的一部天元术著作， 而且在体例上也有创新 。 全书基本上是一个演绎体系， 卷一包含了解题所需的定义、定理、公式， 后面各卷问题的解法均可在此基础上以天元术为工具推导出来 。 李冶之前的算书， 一般采取问题集的形式， 各章（卷）内容大体上平列 。 李冶以演绎法著书， 这是中国数学史上的一个进步 。
【天元术的贡献者是谁 天元术的主要贡献者】《测圆海镜》的成书标志着天元术成熟， 对后世有深远影响 。 元代王恂、郭守敬在编《授时历》的过程中， 曾用天元术求周天弧度 。 不久， 沙克什用天元术解决水利工程中的问题， 收到良好效果 。 元代大数学家朱世杰说：“以天元演之、明源活法， 省功数倍 。 ”清代阮元说：“立天元者， 自古算家之秘术；而海镜者， 中土数学之宝书也 。 ”

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