海伦定理 海伦定理的证明


海伦定理 海伦定理的证明

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1、先来看海伦公式:三角形面积S=√[P(P-A)(P-B)(P-C)],其中P=(A+B+C)/2 A、B、C表示三角形的边长,√表示根号,即紧跟后面的括号内的全部数开根号 。
2、 2、再来看海伦公式的变形(以下所有式中的^表示平方) S=√[P(P-A)(P-B)(P-C)] =(1/4)√[(A+B+C)(A+B-C)(A+C-B)(B+C-A)] 变形1 =(1/4)√{[(A+B)^-C^][C^-(A-B)^]} 变形2 =(1/4)√{(A^+B^-C^+2AB)[-(A^+B^-C^-2AB)]} 变形3 =(1/4)√[4A^B^-(A^+B^-C^)^] 变形4 3、画一个三角形(在这儿不好画,你自己画一个吧),三边分别为 A、B、C 。
3、A为底边 。
【海伦定理 海伦定理的证明】4、过顶点作与A垂直的高H,把A分成两部分X、Y 根据勾股定理可得以下三式: X=A-Y 第1式 H^=B^-Y^ 第2式 H^=C^-X^ 第3式 根据第2、3式可得B^-Y^=C^-X^ 第4式 把第1式的X=A-Y代入第4式并化简可得 Y=(A^-C^+B^)/2A 第5式 根据第2式可得 H=√(B^-Y^) =√[B^-(A^-C^+B^)/4A^] ={√[4A^B^-(A^-C^+B^)^]}/2A 三角形面积S=(1/2)*AH =(1/2)*A*{√[4A^B^-(A^-C^+B^)^]}/2A =(1/4)√[4A^B^-(A^+B^-C^)^ ] 这个等式就是海伦公式的变形4,故得证 。
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