勾股数有哪些规律勾股数的规律一定有一个偶数吗,为什么 _经验分享

勾股数的3条规律总结
凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。那么勾股数有什么规律吗？下面和我一起了解一下吧，供大家参考。
1、第一组勾股数
3 ， 4 ， 5
5 ， 12 ， 13
7 ， 24 ， 25
9 ， 40 ， 41
【勾股数有哪些规律勾股数的规律一定有一个偶数吗,为什么】 11 ， 60 ， 61
13 ， 84 ， 85
15 ， 112 ， 113
首先发现其最小值为奇数，而另外两数是连续正整数。
我们用乘方进行尝试。先给暂时没看出关系的最小值进行乘方。
32=9 ， 52=25 ， 72=49
大家有没有发现，在第一列数据中，每组数的较大两数之和正好等于这组数最小值的平方。即：
32=9=4+5 ， 52=25=12+13 ， 72=49=24+25
我们再试几组进行验证。
92=81=40+41 ， 112=121=60+61
目前看来这个规律是正确的。我们再次注意到开始时发现的规律：第一列中每组数较大两数差为一。那么总结这两点就可初步发现以下规律：
一个正奇数(除1外)与两个和等于此正奇数平方的连续正整数是一组勾股数。
设n为一正奇数(n≠1) ，那么以n为最小值的一组勾股数可以是:n ， (n2-1)/2 ， (n2+1)/2 。
2、第二组勾股数
6 ， 8 ， 10
8 ， 15 ， 17
10 ， 24 ， 26
12 ， 35 ， 37
14 ， 48 ， 50
16 ， 63 ， 65
18 ， 80 ， 82
我们如法炮制，首先发现第二组数据均以偶数为最小数，而另外两数是差为2的正整数。似乎也只能看出这么多，那我们继续用最小数乘方对比另外两数之和进行尝试。
62=36 ， 10+8=18
82=64 ， 15+17=32
102=100 ， 24+26=50
这次好像是后两数之和的二倍等于最小数平方？我们进行更多尝试。
122=144=2(35+37) ， 142=196=2(48+50)
初步看来规律正确，那我们还是用代数式验证一下普遍性吧：
设m为一正偶数(m≠0,m≠2,m≠4) ，那么以m为最小值的一组勾股数可以是：
m ， (m2/4)-1 ， (m2/4)+1
验证：[(m2/4)+1]2-[(m2/4)-1]2
=[(m2/4)2+m2/2+1]-[(m2/4)2-m2/2+1]
=(m2/4)2+m2/2+1-(m2/4)2+m2/2-1
=m2
验证成功，可总结为以下规律：
当一个正偶数为最小值时，它(除0,2和4)与两个和之二倍等于此正偶数平方的差为一的正整数是一组勾股数。
设m为一正偶数(m≠0,m≠2,m≠4) ，那么以m为最小值的一组勾股数可以是：m ， (m2/4)-1 ， (m2/4)+1 。
3、特殊的勾股数规律
①12 ， 16 ， 20②18 ， 24 ， 30
首先根据勾股定理可以判断它们都是勾股数。但是仔细观察，我们发现它们每组的三个数都是一组勾股数的正整数倍。
3 ， 4 ， 5分别乘4得12 ， 16 ， 20
6 ， 8 ， 10分别乘3得18 ， 24 ， 30
一组勾股数的正整数倍也是一组勾股数吗？我们还是用代数式验证一下：
任意一组勾股数的正整数倍也是一组勾股数吗？我们还是用代数式验证一下：
设a2+b2=c2 ，则a ， b ， c分别乘n后为:
(na)2+(nb)2
=n2a2+n2b2
=n2(a2+b2)
=n2c2
=(nc)2
总结规律为一组勾股数的正整数倍还是一组勾股数。

勾股数有什么规律？在直角三角形中，若以a、b表示两条直角边， c表示斜边，勾股定理可以表述为a2+b2=c2 。满足这个等式的正整数a、b、c叫做一组勾股数。例如（3、4、5），（5、12、13），（6、8、10），（7、24、25）等一组一组的数，每一组都能满足a2+b2=c2 ，因此它们都是勾股数组（其中3、4、5是最简单的一组勾股数）。显然，若直角三角形的边长都为正整数，则这三个数便构成一组勾股数；反之，每一组勾股数都能确定一个边长是正整数的直角三角形。因此，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义。1．任取两个正整数m、n ，使2mn是一个完全平方数，那么 c=2+9+6=17 。则8、15、17便是一组勾股数。证明： ∴a、b、c构成一组勾股数 2．任取两个正整数m、n、(m＞n) ，那么 a=m2-n2 ， b=2mn ， c=m2+n2构成一组勾股数。例如：当m=4 ， n=3时， a=42-32=7,b=2×4×3=24 ， c=42+32=25 则7、24、25便是一组勾股数。证明： ∵ a2+b2=(m2-n2)+(2mn)2 =m4-2m2n2+n4+4m2n2 =m4+2m2n2+4n2 =(m2+n2)2 =c2 ∴a、b、c构成一组勾股数。3．若勾股数组中的某一个数已经确定，可用如下的方法确定另外两个数。首先观察已知数是奇数还是偶数。(1)若是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数。例如9是勾股数中的一个数，那么9、40、41便是一组勾股数。证明：设大于1的奇数为2n+1 ，那么把它平方后拆成相邻的两个整数为 (2)若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1 ，加1所得到的两个整数和这个偶数构成一组勾股数。例如8是勾股数组中的一个数。那么8、15 ， 17便是一组勾股数。证明：设大于2的偶数2n ，那么把这个偶数除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1 ，加1所得的两个整数为n2-1和n2+1 ∵(2n)2+(n2-1)2=4n2+n4-2n2+1 =n4+2n2+1 =(n2+1)2 ∴2n、n2-1、n2+1构成一组勾股数。
勾股数规律总结口诀勾股数的含义：
勾股数，又名毕氏三元数。勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。
勾股定理 : 直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方(a2+b2 =c2 )。
勾股数顺口溜
3 ， 4 ， 5:勾三股四弦五。
5 ， 12 ， 13:5月12记一生（13) 。
6 ， 8 ， 10:连续的偶数。
8 ， 15 ， 17:八月十五在一起（17）。
特殊勾股数:
连续的勾股数只有：3 ， 4 ， 5 。
连续的偶数勾股数只有：6 ， 8 ， 10 。
勾股数有哪些规律勾股数
凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数,称之为勾股数.
①观察3,4,5；5,12,13；7,24,25；…发现这些勾股数都是奇数,且从3起九没有间断过.计算0.5（9-1）,0.5（9+1）与0.5（25-1）,0.5（25+1）,并根据你发现的规律写出分别能表示7,24,25的股和弦的算式.
②根据①的规律,用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦,合情猜想他们之间的两种相等关系,并对其中一种猜想加以说明.
③继续观察4,3,5；6,8,10；8,15,17；…可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过,运用上述类似的探索方法,之间用m的代数式来表示它们的股合弦.
勾股数 - 构成直角三角形的充分且必要条件
设直角三角形三边长为a、b、c,由勾股定理知a2+b2=c2,这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件.因此,要求一组勾股数就是要解不定方程x2+y2=z2,求出正整数解.
例：已知在△ABC中,三边长分别是a、b、c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1),求证：∠C=90°.此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n＞1),都可构成一组勾股数,三边分别是：2n、n2-1、n2+1.如：6、8、10,8、15、17、10、24、26…等.
再来看下面这些勾股数：3、4、5、5、12、13,7、24、25、9、40、41,11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形.由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数,实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n＞1)为边也可以构成勾股数,其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1,这可以通过勾股定理的逆定理获证.
勾股数 - 特点
观察分析上述的勾股数,可看出它们具有下列二个特点：
1、直角三角形短直角边为奇数,另一条直角边与斜边是两个连续自然数.
2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与这边的和.
掌握上述二个特点,为解一类题提供了方便.
例：直角三角形的三条边的长度是正整数,其中一条短直角边的长度是13,求这个直角三角形的周长是多少?
用特点1设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1,则有：169+x2=(x+1)2,解得x=84,此三角形周长=13+84+85=182.
用特点2此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形,因此周长=169+13=182.
勾股数的神奇规律
大家好，欢迎大家一起来探索勾股数的神奇规律：
（1）第一组数据（2）第二组数据
3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 8 ， 10
5 ， 12 ， 138 ， 15 ， 17
7 ， 24 ， 2510 ， 24 ， 26
9 ， 40 ， 4112 ， 35 ， 37
11 ， 60 ， 6114 ， 48 ， 50
13 ， 84 ， 8516 ， 63 ， 65
15 ， 110 ， 11118 ， 80 ， 82
一、引
根据题目的提示，我们可以发现这些数都符合勾股定理（a2+b2=c2），并且均为正整数，所以上述所有数组都是勾股数。
下面让我们探索勾股数的规律吧?(?^o^?)?
二、勾股数的规律
1、我们先观察第一组数据。首先发现其最小值为奇数，而另外两数是连续正整数。表面上似乎只能看到这么多，我们继续深入。
我们用乘方进行尝试。先给暂时没看出关系的最小值进行乘方。
32=9 ， 52=25 ， 72=49
大家有没有发现，在第一列数据中，每组数的较大两数之和正好等于这组数最小值的平方。即：
32=9=4+5 ， 52=25=12+13 ， 72=49=24+25
我们再试几组进行验证。
92=81=40+41 ， 112=121=60+61
目前看来这个规律是正确的。那么我们再次注意到开始时发现的规律：第一列中每组数较大两数差为一。那么总结这两点就可初步发现以下规律：
当然，上面数据再多也只是特例，让我们用代数式进行普遍性的验证：
[(n2+1)/2]2 - [(n2-1)/2]2
=(n2+1)2/4 - (n2-1)2/4
=[n?+2n2+1-n?+2n2-1]/4
=n2 （勾股定理逆定理）
验证成功，上述规律正确??o(^o^)o
2、第一组数据探索出了规律，我们继续探索第二组数据。
我们如法炮制，首先发现第二组数据均以偶数为最小数，而另外两数是差为2的正整数。似乎也只能看出这么多，那我们继续用最小数乘方对比另外两数之和进行尝试。
62=36 ， 82=64 ， 102=100
10+8=18 ， 15+17=32 ， 24+26=50
这次好像是后两数之和的二倍等于最小数平方？我们进行更多尝试。
122=144=2(35+37) ， 142=196=2(48+50)
初步看来规律正确，那我们还是用代数式验证一下普遍性吧：
设m为一正偶数，那么以m为最小值的一组勾股数可以是：
m ， (m2/4)-1 ， (m2/4)+1
验证:[(m2/4)+1]2-[(m2/4)-1]2
=[(m2/4)2+m2+1]-[(m2/4)2-m2+1]
=(m2/4)2+m2/2+1-(m2/4)2+m2/2-1
=m2
验证成功，规律正确?? 这点可总结为以下规律：
3、规律总结完了吗？当然没有。还有一些特殊的勾股数需要我们探索⊙v⊙
下面我们看这些数：
①12 ， 16 ， 20②18 ， 24 ， 30
首先根据勾股定理可以判断它们都是勾股数。但是仔细观察，我们发现它们每组的三个数都是一组勾股数的正整数倍。
3 ， 4 ， 5分别乘4得12 ， 16 ， 20
6 ， 8 ， 10分别乘3得18 ， 24 ， 30
一组勾股数的正整数倍也是一组勾股数吗？我们还是用代数式验证一下：
设a2+b2=c2
则各项乘n倍后为na2+nb2=nc2
n(a2+b2)=nc2
符合等式的基本性质，规律成立??我们可以由此进行总结：
三、结
ps：本次探索成果主要用于寻找勾股数，而用其逆命题判断勾股数时可能会有覆盖不完全现象(如20 ， 21 ， 29) ，有兴趣的小伙伴可以继续深入吖。
那么本次关于勾股数神奇规律的探索就至此告一段落了，一起期待下个课题吧。
∪?ω?∪
勾股数有什么规律?在直角三角形中,若以a、b表示两条直角边,c表示斜边,勾股定理可以表述为a2+b2=c2.
满足这个等式的正整数a、b、c叫做一组勾股数.
例如（3、4、5）,（5、12、13）,（6、8、10）,（7、24、25）等一组一组的数,每一组都能满足a2+b2=c2,因此它们都是勾股数组（其中3、4、5是最简单的一组勾股数）.显然,若直角三角形的边长都为正整数,则这三个数便构成一组勾股数；反之,每一组勾股数都能确定一个边长是正整数的直角三角形.因此,掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义.
1．任取两个正整数m、n,使2mn是一个完全平方数,那么
c=2+9+6=17.
则8、15、17便是一组勾股数.
证明：
∴a、b、c构成一组勾股数
2．任取两个正整数m、n、(m＞n),那么
a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2构成一组勾股数.
例如：当m=4,n=3时,
a=42-32=7,b=2×4×3=24,c=42+32=25
则7、24、25便是一组勾股数.
证明：
∵ a2+b2=(m2-n2)+(2mn)2
=m4-2m2n2+n4+4m2n2
=m4+2m2n2+4n2
=(m2+n2)2
=c2
∴a、b、c构成一组勾股数.
3．若勾股数组中的某一个数已经确定,可用如下的方法确定另外两个数.
首先观察已知数是奇数还是偶数.
(1)若是大于1的奇数,把它平方后拆成相邻的两个整数,那么奇数与这两个整数构成一组勾股数.
例如9是勾股数中的一个数,
那么9、40、41便是一组勾股数.
证明：设大于1的奇数为2n+1,那么把它平方后拆成相邻的两个整数为
(2)若是大于2的偶数,把它除以2后再平方,然后把这个平方数分别减1,加1所得到的两个整数和这个偶数构成一组勾股数.
例如8是勾股数组中的一个数.
那么8、15,17便是一组勾股数.
证明：设大于2的偶数2n,那么把这个偶数除以2后再平方,然后把这个平方数分别减1,加1所得的两个整数为n2-1和n2+1
∵(2n)2+(n2-1)2=4n2+n4-2n2+1
=n4+2n2+1
=(n2+1)2
∴2n、n2-1、n2+1构成一组勾股数.
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勾股数有哪些规律 勾股数的规律一定有一个偶数吗,为什么

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