论函数的奇偶性奇函数加奇函数是什么函数

函数是中学数学教学的重要内容，因其比较抽象，我们学习中会更加吃力，尤其是函数的奇偶性，我们要在理解概念的基础上，适当掌握一定的解题方法，能系统总结出知识要点，以达事半功倍的效果！

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函数的奇偶性学习中，以判断函数奇偶性的方法为重点，当然常用的结论也要记好。
[知识点](一)基本概念

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函数的奇偶性的判断要遵循以函数的定义域为优先原则来考虑，函数有奇偶性，首先必须要求定义域是关于原点对称的！
其次，要权量f(-x)与f(ⅹ)的大小关系:
①f(ⅹ)为偶函数<=>f(x)－f(-x)=0恒成立<=>f(x)/f(-ⅹ)=1恒成立;
②f(ⅹ)为奇函数<=>f(x)+f(-x)=0恒成立<=>f(x)/f(-x)=-1恒成立。

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[知识点](二)常用结论
①如果一个奇函数在x=0处有定义，则f(0)=0;如果一个函数既是奇函数又是偶函数，那这个函数为f(x)=0 。②二次函数y=ax^2十bx+c(a≠0)为偶函数的充要条件是b=0 。③若f(ⅹ)为偶函数，则f(ⅹ)=f(|ⅹ|) 。④奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。反之亦然，即图象关于原点对称的函数一定是奇函数，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数。⑤复合函数F(x)=f(g(x))的奇偶性的判断由f(x)和g(ⅹ)两部分来确定，一般地，若内层函数g(x)为偶函数，则F(ⅹ)为偶函数;若内层函数g(ⅹ)为奇函数，则F(x)与外层函数f(ⅹ)的奇偶性一致。下面，我们通过几个例子来熟悉一下函数的奇偶性的常见题型:
题型一、判断函数的奇偶性例1.判断函数f(x)=xlg(ⅹ+√(ⅹ^2+1)的奇偶性。
解析:先看定义域是否关于原点对称！
因为√(x^2+1)>|x|，故x+√(x^2+1)>0，即f(ⅹ)的定义域为R，当然关于原点对称;
再计算f(-x)的值:因为
(√(ⅹ^2+1)+x)(√(x^2+1)-x)=ⅹ^2+1-ⅹ^2=1，即√(ⅹ^2+1)+x与√(ⅹ^2+1)-ⅹ互为倒数。故有f(-x)=-xlg[-ⅹ+√(ⅹ^2+1)]
=-xlg[ⅹ+√(ⅹ^2+1)]^(-1)
=xlg(x+√(x^2+1))=f(x)，
即f(ⅹ)-f(-x)=0，
所以函数f(ⅹ)为偶函数。
题型二、利用函数的奇偶性来求函数值。例2.[2017·全国卷2] 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(-∞，0)时，有f(x)=2x^3+x^2，则f(2)=______ 。
[分析]这道题就要借助奇函数的性质一一图象关于原点对称，即f(x)=-f(-x)，因要求的x=2不在(-∞，0)内，无法用解析式2x^3+ⅹ^2来求f(2)的值，但我们可求出f(-2)的值，利用f(2)=-f(-2)来解！
[解]f(2)=-f(-2)=-[2×(-2)^3+(-2)^2]=12 。
题型三、利用函数的奇偶性来求函数的解析式。例3、已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(-∞，0]时，有f(ⅹ)=x^2+2x 。求函数f(x)在R上的解析式。
[解析]因x≤0时，解析式为f(x)=x^2+2x 。我们只要求出x>0时f(x)的解析式就可以啦！利用偶函数的性质一一f(ⅹ)=f(-x)来解题。
解:令x>0时，则-ⅹ<0，所以，
f(-x)=(-x)^2－2x=x^2－2ⅹ，
又因f(x)为R上的偶函数，有f(-ⅹ)=f(ⅹ)，
故f(x)=ⅹ^2－2x (ⅹ>0) 。
因此，f(x)在R上的解析式为:
当x>0时，f(ⅹ)=ⅹ^2－2ⅹ;
当x≤0时，f(ⅹ)=ⅹ^2+2ⅹ 。

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今天就题型三，我们重点练习一下，看下列试题一一
1)已知定义在R上的奇函数f(x)，当ⅹ∈(0，1)时，有f(x)=2^x/(4^x+1)，求f(x)在(-1，0)上的解析式。
2)已知奇函数f(x)，偶函数g(x)，它们公共定义域为{ⅹ丨x∈R且x≠±2}，且f(x)+g(x)=x/(ⅹ－2)，求g(ⅹ)和f(x)的解析式。
【论函数的奇偶性奇函数加奇函数是什么函数】

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