二重积分的计算例题 二重积分计算例题及过程

【二重积分的计算例题 二重积分计算例题及过程】

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1、D的区域可进一步化简为圆1:x^+y^≥2的外侧部分与圆2:x^+(y-1)^≤1的内侧部分的公共部分,由图可知此区域为在圆1上方的园2部分,而圆1的极坐标方程为r=√2,圆2的极坐标方程为r=2sinθ,两圆的交点坐标可求出为(1 。
2、1)和(-1,1) , 极坐标表达为(√2 。
3、π/4)和(√2,3π/4)由图对二重积分做极坐标变换:∫∫(D)2ydxdy=∫2sinθdθ(θ下限为π/4,上限为3π/4)*∫r*rdr(r下限是√2,上限是2sinθ)其中后一项r的积分进一步化简:∫r^dr(r下限是√2 。
4、上限是2sinθ)=(r^3)/3(r下限是√2,上限是2sinθ)=8(sinθ^3)/3 -2√2/3于是原二次积分转化为:(16/3)*∫(sinθ^4)dθ-(4√2/3)∫sinθdθ(两项中θ都是下限为π/4,上限为3π/4)重点是前一项的积分,可通过对sin^+cos^=1 。
5、sin2x=2sinx*cosx以及cos2x=1-sin^x这三个重要的三角公式对其进行变化,最终可得出前一项的值为π+8/3后一项更好求了,为-8/3于是两项和为π 。
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