『求过直线且与球面相切的平面方程』在第一封卦限内作球面xx yy zz=1的切平面,使得切平面与三坐标面所围的四面体的体积最小.求切点的坐标.

在第一卦限内x^2 y^2 z^2=a^2 上一点p使在该点除球面的切平面与三坐标平面所围
。。。。。。。。。无语。。。。

在第一封卦限内作球面xx yy zz=1的切平面,使得切平面与三坐标面所围的四面体的体积最小.求切点的坐标.
设切点为(x0,y0,c0)
则x^2 y^2 z^2=1在(x0,y0,z0)的法向量就是(x0,y0,z0)（从球心(0,0,0)指向(x0,y0,z0)的半径方向）
所以切为x0(x-x0) y0(y-y0) z0(z-z0)=0
设切平面在三坐标轴的截距为a,b,c
令y0=z0=0得：x0(a-x0) y0(0-y0) z0(0-z0)=0
解得a=(x0^2 y0^2 z0^2)/x0=1/x0
同理可证b=1/y0
c=1/z0
而V=(1/2ab)c*1/3=1/6abc
于是V=1/(6*x0*y0*z0)，于是问题变成了V=1/(6xyz)在x^2 y^2 z^2=1的条件极值
构造拉格朗日函数F(x,y,z)=1/(6xyz)-λ(x^2 y^2 z^2-1)
对λ的偏导为0：x^2 y^2 z^2-1=0
对x的偏导为0：lnx/(6yz)-2λx=0，即λ=lnx/(12xyz)
同理可得：λ=lnx/(12xyz)=lny/(12xyz)=lnz/(12xyz)
即lnx=lny=lnz，也就是x=y=z，又x^2 y^2 z^2-1=0，x>0，y>0，z>0（第一卦限）
得到x=y=z=√3/3
即切点(x0,y0,z0)取(√3/3,√3/3,√3/3)体积有最小值

求球面x^2 y^2 z^2=1在第一卦限部分的切平面,使它与三坐标轴平面围成的四面体有最小体积
球面在第一的法向量(x0，y0，z0)平面方程为(x－x0)x0 (y－y0)y0 (z－z0)z0＝0xx0 yy0 zz0＝1三坐标轴的交(1/x0，1/y0，1/z0)，四面体的体积为1/(6x0y0z0)，因此问题就是求x0y0z0的最大值，条件为x0^2 y0^2 z0^2=1 。由于1＝x0^2 y0^2 z0^2>=3×三次根号(x0^2y0^2z0^2)，于是x0y0z0<=1/根号(27)，故最小体积是根号(27)/6＝根号(3)/2 。当且仅当x0＝y0＝z0＝1/根号(3)时达到最小体积。