韩信点兵歇后语下一句,为什么韩信点兵要多多益善？

韩信点兵，多多益善。说的是汉高祖刘邦有天闲着没事干，就请韩信吃饭。席中两人都喝高了，回忆起当年一起打天下的旧事，开始吹牛打屁。连刘邦也不得不承认，若论领兵打战，沙场对敌，自己绝对不如韩信。聊到带兵的时候，刘邦就问韩信，你看我能带多少兵韩信点兵歇后语下一句？韩信张口就来，陛下最多能带10万兵。刘邦又问韩信，你能带多少兵？韩信打着酒嗝不经思索的说我带兵当然是多多益善。

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刘邦听后非常生气，大骂韩信说:我只能带10万兵，你带兵却多多益善，那你怎么会被我管着呢？韩信吓得立马酒醒了过来，忙对刘邦说:陛下虽不善带兵，但却善带统兵的大将。刘邦听后才转怒为喜。一场戏言囊成的杀身之祸，总算就此让韩信有惊无险的遮掩了过去。历史上的韩信的确善能带兵，素有兵仙的美誉，开拓大汉王朝的兵神，是个带兵打仗的天才。连萧何也不得不承认，韩信带兵的确是国士无双。
韩信被刘邦拜为大将军之后，一路带领汉军明修栈道，暗渡陈仓杀了出四川，背水一战破了陈国，老谋深算降了燕国，英明果断杀了魏国，智勇双全平了齐国，半度水淹灭了龙且，十面埋伏刎了西楚霸王。为大汉朝的建立立下了赫赫的战功。可以说没有韩信就没有刘邦的帝业成就，没有韩信，也就没有大汉朝的诞生。可是历史总是造化弄人，功高盖主的韩信最终没有逃脱飞鸟尽，良弓藏，鸟兔死，走狗烹的下场。
话说回来，韩信点兵之所以要多多益善，就是因为韩信熟读兵书，带兵治军用的是军律，军法。也就是现在所说的制度。一个将军带10万兵用制度管理，和带100万兵用制度管理性质是一样的，只要制度健全，就算带1000万的兵效果也是一样的。刘邦带兵用的是亲信，属于人治的那种，能带10万兵，靠的是大家自愿自觉，这种人治的带兵方法超过一定的数量就不灵了。学武之人不过是个百人敌，读兵书之人却可以是个万人敌。
物不知数韩信点兵问题最早出自《孙子算经》。《孙子算经》是中国古代非常重要的数学著作，因数学家孙子贡献最大而得名（关于孙子的资料不可考），大约成书于东晋十六国时期，现存最早为北宋刻本，全书分三卷：《卷上》、《卷中》、《卷下》，主要讲述度量规定和算筹运算以及基于它们的数学应为问题，韩信点兵为《卷下》第二十六题 ”物不知数“，原文如下：

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今有物，不知其数。三、三数之，剩二；五、五数之，剩三；七、七数之，剩二。问物几何？

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答曰：二十三。

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术曰：“三、三数之，剩二”，置一百四十；“五、五数之，剩三”，置六十三；“七、七数之，剩二”，置三十。并之，得二百三十三。以二百一十减之，即得。凡三、三数之，剩一，则置七十；五，五数之，剩一，则置二十一；七、七数之，剩一，则置十五。一百六以上，以一百五减之，即得。

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题目翻译成现今的数学语言如下：

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有一个正整数 x，知 x 除以 3 余 2、除以 5 余数 3、除以 7 余数 2，求 x 的最小值。

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这等价于求解《初等数论》中的一次同余方程组：

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《孙子算经》给出的解法如下：

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寻中最小正整数 x?，满足： x? 被 5 和 7 整除并且除以 3 余 1，即，5|x?,7|x? 并且 x? mod 3 = 1 ②

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x? 被 5 和 7 整除，就意味着被 5×7 = 35 整除，即，35 | x?，于是，令 x? = 35n（n ≥ 1）：

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当 n = 1 时 x? = 35，35 mod 3 = 2 不满足 ② 舍弃；

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当 n = 2 时 x? = 70，70 mod 3 = 1 刚好满足 ②，Bingo~~~ 。

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由于 x? ≡ 1 (mod 3)，故2x? ≡ 2 (mod 3)，于是得到 2x? = 140，它满足：除以 3 余 2 并且被 5 和 7 整除。

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同理，

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求得满足：可被 3 和 7 整除并且除以 5 余 1 的最小正整数 x? = 21，从而得到，同样可被 3 和 7 整除但除以 5 余 3 的 3x? = 63；

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求得满足：可被 3 和 5 整除并且除以 7 余 1 的最小正整数 x? = 15，从而得到，同样可被 3 和 5 整除但除以 7 余 2 的 2x? = 30；

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将上面的结果相加得到： x’ = 2x? + 3x? + 2x? = 140 + 63 + 30 =233，则容易验证 x‘ 是同余方程组 (1) 的一个解，但是 x’ 不是最小整数解 x 。很容易可以发现 x’ 减去一个同时被 3、5 和 7 整除并且不大于 x’ 的整数，结果依然是 (1) 的解，由于，同时 3、5 和 7 整除，就意味着被 3×5×7 = 105 整除，于是得出：

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x = x’ (mod 105)

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进而，有如下算法：

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令 x = x’；

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如果 x > 105（原文为 106 = x? + x? + x? ）则令 x = x – 105，否则 x 为最终答案；

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具体过程如下：

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x = x’= 233

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[x = 233 > 105]： x = x – 105 = 233 – 105 = 128

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[x = 128> 105]： x =x – 105 = 128 – 105 = 23

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[ x = 23 < 105]：OK！
这样就得到了最终答案：x = 23 。
将整个求解过程写成算式就是：
x =2×70 + 3×21 + 2×15 – 2×(3×5×7) = 23
为了方便记忆，发明珠算和卷尺的明朝数学家程大位，在其所著的《算法统宗》中，将《孙子算经》的算法编成“孙子歌诀” 如下：
三人同行七十稀，
五树梅花廿一枝，
七子团圆正半月，
除百零五便得知。
注：正半月就是十五天，除是除去（减去）之意。
韩信点兵韩信点兵泛指 ”物不知数“ 此类一次同余方程组求解问题。南宋著名数学家秦九韶对《孙子算经》中的算法进行了深入研究，将其扩展为『大衍总数术』，彻底解决了韩信点兵问题，这就是《初等数论》中的中国剩余定理（也称孙子定理）：
设 m?, m?, …, m_n 是两两互素的正整数，那么对于任意整数 a?, a?, …, a_n 组成的一次同余方程组：
在同余意义下，必有唯一解：
其中：
验证：易知，
再结合 (3”)，由 (3′) 可以推出：
这就说明 (3′) 的确是 (3) 的解。
注：这里只是给出了定理的验证，并没有严格证明同余意义下的唯一性。证明中国剩余定理，有多种方法大家有兴趣可以参考《初等数论》。
秦九韶分别称 M、M? 、 M??1 为衍母、衍数、乘率，这里的关键是求乘率 M??1，方法如下：
令，r 是 M? 除以 m? 的余数，即，
于是：
进而：
然后，让 m?和 r 辗转相除，得到：
到 r_k = 1 终止。如果向下进行一步就是：
前面再加上 (4)，整个过程就是欧几里得辗转相除法，因此 r_k 为 M?和 m?的最大公约数，而 m?, m?, …, m_n 是两两互素，于是有： r_k = (M?, m?) = 1，这样就证明了最后总可以终止于 1 的正确性。
接着，定义两个数列：
有：
即，
假设，
则：
这样归纳的证明了 (7) 成立。
当 k 为偶数时有：
于是：
比较 (5) 得到：
当 k 为奇数时，则 k + 1 是偶数，这就要算到 (6)，对 (6) 稍作变形：
于是，令，
并重新令：
则有：
这样我们就将辗转相除又延长了一步到 k + 1，这时 k + 1 是偶数，则同理上面情况可得到：
因为此算法最后总会终止于 1，所以被秦九韶称为『大衍求一术』，前缀 “大衍” 来自于《易经 · 系辞》：“大衍之数五十，… …” 。
当然，中国剩余定理要求 m?, m?, …, m_n 必须两两互素，对于那些不满足这个条件的一次同余方程组可以转换为和其同解的满足这个条件的一次同余方程组。下面举例说明：
有一筐鸭蛋，1个1个数，正好数完；2个2个数，还剩1个；3个3个数，正好数完；4个4个数，还剩1个；5个5个数，还剩1个；6个6个数，还剩3个；7个7个数，正好数完；8个8个数，还剩1个；9个9个数，正好数完。请问：框里最少有多少个鸭蛋？
按照题目所述，列同余方程组如下：
显然 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 并不两两互素，因此需要简化：
一个数字必然被 1 整除，因此 ① 没有意义，删除；一个数字被 9 整除，必然会被 3 整除，因此保留 ⑨ 删除 ③；一个数字被 8 除余 1，则可以表示为 8x + 1，进而有 2(4x) + 1，4(2x) + 1，于是 x 一定可以被 2 和 4 整除，因此保留 ⑧ 删除 ② 和 ④；目前已经保证了被 2 除余 1，可表示为 2x + 1，也保持了被 3 整除，于是有3(2x + 1) = 6x + 1，这说明目前已经保持了被 6 除余 3，因此 ⑥ 可以被删除；最后剩下 ⑤ 和 ⑦ 保留。得到：
则 (8′) 和 (8) 等价。由于 5,7,9,8 两两互素，符合中国剩余定理要求，于是解：
◆M = m? m? m? m?= 5 × 7 × 8 × 9 = 2520
◆M? = 7 × 8 × 9 = 504
M? = q m? + r, 504 = 100 × 5 + 4 ,c? = 1;
m? = q? r + r?, 5 = 1 × 4 + 1,c? = q?= 1;(r? = 1，下标 1 是奇数，需要再算一步 )
r = q? r? + r?, 4 = 3 × 1 + 1, c? = q?c? + c? = 3 × 1 + 1 = 4；(得到结果)
M??1 = 4，M??1 M?a? = 4×504× 1= 2016；
◆ 由于 a? = 0 所以 M??1 M?a? = 0；
◆M? =5 × 7 × 9 = 315
M? = q m? + r, 315 = 39 × 8 + 3 ,c? = 1;
m? = q? r + r?, 8 = 2 × 3 + 2,c? = q?= 2;
r = q? r? + r?, 3 = 1 × 2 + 1,c? = q?c? + c? = 1 × 2 + 1 = 3；(r? = 1，下标 2 是偶数，得到结果)
M??1 = 3，M??1 M?a? = 3 × 315 × 1 = 945；
◆由于 a? = 0 所以 M??1 M?a? = 0；
得到：
x =M??1 M?a? +M??1 M?a? + M??1 M?a? = 2016 + 0 + 945 + 0 = 2961
x > M, x = x – M =2961 – 2520 = 441
最终答案：框里最少有 441 个鸭蛋。
最后，需要说明的是：
数学大神欧拉和高斯对于一般一次同余式进行了详细研究，独立的得到了中国剩余定理，后来证实与秦九韶『大衍求一术』相同，于是才命名该定理为：中国剩余定理。
中国剩余定理，在《抽象代数》中还有另外的形式，不过这就扯远了，就此打住。
【韩信点兵歇后语下一句,为什么韩信点兵要多多益善？】（由于本人数学水平有限，出错在所难免，欢迎各位老师批评指正！）