椭圆焦点三角形椭圆焦点三角形常见结论

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1、F1，F2是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的焦点，PQ是过F1的一条弦，求三角形PQF2面积的最大值【解】△PQF2面积=△QF1F2面积+△QF1F2面积△QF1F2与△QF1F2底边均为F1F2=2c，三角形PQF2的面积=三角形PF1F2的面积+三角形QF1F2的面积=1/2 * |y2-y1| * 2c=c*|y2-y1|之后是联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理表示出|y2-y1|进行分析即可。
2、请你看下面的一个具体例题，会对你有所启发的。
3、设点F1是x^2/3+y^2/2=1的左焦点，弦AB过椭圆的右焦点，求三角形F1AB的面积的最大值.【解】a2=3,b2=2c2=3-2=1c=1所以F1F2=2c=2假设A在x上方，B在下方直线过(1,0)设直线是x-1=m(y-0)x=my+1代入2x2+3y2=6(2m2+3)y2+4my-4=0y1+y2=-4m/(2m2+3),y1y2=-4/(2m2+3)三角形F1AB=三角形F1F2A+F1F2B他们底边都是F1F2=2则面积和最小就是高的和最小即 |y1|+|y2|因为AB在x轴两侧,所以一正一负所以|y1|+|y2|=|y1-y2|(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=16m2/(2m2+3)2+16/(2m2+3)|y1-y2|=4√[m2+(2m2+3)]/(2m2+3)=4√3*√(m2+1)]/(2m2+3)令√(m2+1)=p2m2+3=2p2+1且p>=1则p/(2p2+1)=1/(2p+1/p)分母是对勾函数所以p=√(1/2)=√2/2时最小这里p>=1,所以p=1,2p+1/p最小=3此时p/(2p2+1)最大=1/3所以|y1-y2|最大=4√3*1/3所以最大值=2*4√3/3÷2=4√3/3 。
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