点关于直线对称的点的求法公式推导直线关于直线对称的点的求法公式

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今天讲解习题，在同一张试卷中，出现两道点关于直线对称的问题。

这两道习题都涉及到点关于直线对称，而我们求点关于直线对称的点，利用的方法是构造方程组：两直线垂直，即斜率之积等于-1,；两点中点在对称轴直线上。依据是对称轴是两点的垂直平分线。方法固定、简单，但是学生反应繁琐。当然我们可以选择记忆公式，可是公式比运算的繁琐量并不低。所以还是强调学生通过解方程组的方法求对称点。
【点关于直线对称的点的求法公式推导直线关于直线对称的点的求法公式】但是我发现，这两道题中的对称轴直线的斜率为1或-1 ，当然这并不是偶然，在解决点关于直线对称的问题中，这样的对称轴经常容易出现，或许是因为这样的直线比较容易计算一些。
当然我们解决此类问题也可以选择平移坐标轴，使得直线为一三象限的角平分线或者二四象限的角平分线来完成，这种方法，我不再讲解，今天我着重介绍另一种方法：构造正方形。
这样的思路来源于在上课过程中，我给学生强调构造方程组的依据是对称轴是两点的垂直平分线。垂直平分？脑海中瞬间出现正方形，正方形的对角线相互垂直平分，于是，我借助于图形，快速完美地解决了这类问题。
以第一题为例：
我们容易发现，

接下来，我们构造正方形。

那么其他的点呢？能否也能用这一方法求出对称点呢？
我们选一不在坐标轴上的点来尝试，

如图：

显然是可行的，我们在利用以上方法找出对称轴斜率为1的情况，更一般的情况：

你再来尝试做一下最开始的第2题，看看是否掌握这种方法。
在这里需要注意的是，这种方法只能解决对称轴斜率为1或者-1的情况，其他就没有效果了，譬如，我们来看对称轴斜率为2的直线：

显然，如果我们像上诉方法做出图形后，得出得是是矩形，由于对角线与矩形边所成的角不是45° ，所以不是正方形，也就是说，尽管我们可以轻松求出其他点的坐标，但是并不是垂直，所以不可能是对称点。
而我们要得到对称点，得保证垂直平分，即要作出正方形，如下图：

需要作出与对称轴成45°的直线，显然直线不易作出，交点坐标也不易找到，所以此类方法适用于对称轴斜率为1或者-1的情况，而这种情况在解决点关于直线对称的时候是常见的。

点关于直线对称的点的求法公式推导 直线关于直线对称的点的求法公式

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