二面角的平面角及求法二面角的平面角及求法教案

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1、方法一：5261如图所示，建立空间直角坐标系，4102点B为坐标原点．依题意得 A(22 。
2、16530，0)，B(0 。
3、0 ， 0)，C(2 。
4、-2，5)A1(22 ， 22 。
5、0)，B1(0 ， 22 。
6、0)，C1(2，2 。
7、5)（I）解：易得 AC→=(-2，-2 ， 5) 。
8、A1B1→=(-22，0 ， 0) 。
9、于是 cos〈AC→，A&1B1→＞=AC→?A1B1→|AC→|?|A1B1→|=43×22=23，所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为 23．（II）解：易知 AA1→=(0 。
10、22，0)，A1C1→=(-2 。
11、-2，5)．设平面AA1C1的法向量 m→=（x，y 。
12、z），则 {m→?A1C1→=0m→?AA1→=0即 {-2x-2y+5z=022y=0.不妨令 x=5，可得 m→=(5 。
13、0 ， 2)，同样地。
14、设平面A1B1C1的法向量 n→=（x，y ， z）。
15、则 {n→?A1C1→=0n→?A1B1→=0即 {-2x-2y+5z=0-22x=0.不妨令 y=5，可得 n=(0，5 。
16、2)．于是 cos＜m→，n→＞=m→?n→|m→||n→|=27?7=27，从而 sin＜m→ 。
17、n→＞=357．所以二面角A-A1C1-B的正弦值为 357．（III）解：由N为棱B1C1的中点，得 N(22，322 。
18、52)．设M（a ， b ， 0）。
19、则 MN→=(22-a，322-b，52)由MN⊥平面A1B1C1 。
20、得 {MN→?A1B1→=0MN→?A1B1→=0即 {(22-a)?(-22)=0(22-a)?(-2)+(322-b)?(-2)+52?5=0.解得 {a=22b=24.故 M(22 ， 24，0)．因此 BM→=(22 。
21、24 ， 0)，所以线段BM的长为 |BM→|=104．方法二：（I）解：由于AC∥A1C1 。
22、故∠C1A1B1是异面直线AC与A1B1所成的角．因为C1H⊥平面AA1B1B，又H为正方形AA1B1B的中心， AA1=22 。
23、C1H=5，可得A1C1=B1C1=3．因此 cos∠C1A1B1=A1C12+A1B12-B1C122A1C1?A1B1=23．所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为 23．（II）解：连接AC1，易知AC1=B1C1 。
24、又由于AA1=B1A1，A1C1=A1=C1，所以△AC1A1≌△B1C1A 。
25、过点A作AR⊥A1C1于点R，连接B1R，于是B1R⊥A1C1 。
26、故∠ARB1为二面角A-A1C1-B1的平面角．在Rt△A1RB1中， B1R=A1B1?sin∠RA1B1=22?1-(23)2=2143．连接AB1，在△ARB1中。
27、 AB1=4，AR=B1R，cos∠ARB1=AR2+B1R2-AB122AR?B1R= -27 。
28、从而 sin∠ARB1=357．所以二面角A-A1C1-B1的正弦值为 357．（III）解：因为MN⊥平面A1B1C1，所以MN⊥A1B1．取HB1中点D ，连接ND 。
29、由于N是棱B1C1中点，所以ND∥C1H且 ND=12C1H=52．又C1H⊥平面AA1B1B ，所以ND⊥平面AA1B1B 。
30、故ND⊥A1B1．又MN∩ND=N，所以A1B1⊥平面MND，连接MD并延长交A1B1于点E 。
31、则ME⊥A1B1，故ME∥AA1．由 DEAA1=B1EB1A1=B1DB1A=14，得 DE=B1E=22 。
32、延长EM交AB于点F，可得 BF=B1E=22．连接NE．在Rt△ENM中，ND⊥ME 。
33、故ND2=DE?DM．所以 DM=ND2DE=524．可得 FM=24．连接BM，在Rt△BFM中， BM=FM2+BF2=104．。
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