浅谈CT图像重建的数理基础 _健康小知识

作者：XI区
01引言
想要知道一个西瓜的内部长什么样，皮厚不厚，有没有籽，最好的办法就是把西瓜切开来，对于临床来说，为了获得患者的体内信息而把病人切开是不现实的。传统的X线设备能够获得一系列密度叠加的像，但不能得到截面影像，对于空间位置的识别不够精细，如何不用动刀就获得准确的截面诊断信息成为了亟待解决的问题。 CT的出现给我们提供了一种全新的成像手段，它能获取物体的截面信息，辅助临床诊疗。
CT通过扫描来获取投影值，根据投影值来求解成像剖面上衰减系数的分布，投影数据是用探测器采集的，探测器上所成的像是物体叠加后的图像。 CT通常所说的正弦图是通过拉东变换得到的，它引入了一个狄拉克函数来当作点源，投影数据是对物体的线积分。相当于把函数f(x,y)通过线积分表示成了另外的一种直线参数的形式，把二维平面(x,y)坐标系映射到了直线参数（θ,P）坐标系。从物体的投影数据来得到物体的内部断层成像的过程就称之为图像重建。图像重建是一个数学工序，它的目的是把投影数据中的叠加效应除去，并营造出一个无重叠的原本物体的截面图像，这个数学工序叫做算法。
02反投影与滤波反投影2.1解方程组
【浅谈CT图像重建的数理基础】早期的算法研究以解方程组和反投影方法为主。

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扫描得到的投影值
假设我们通过扫描得到了上面4个投影值，那么任务就是要还原出真实的衰减系数分布，对于上图的矩阵，我们可以列出一系列方程组：

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尝试解这个方程组会发现不只一个解，从线性代数的角度上，这个方程组属于欠定方程组， 4个方程不独立，把上面两个方程相加，把下面两个方程相加，这两个方程就变成一样的了，方程数小于未知数个数，它会有很多个解，但二维图像只能有一种可能，那么要能够得出唯一的解，就需要获得更多的投影值，也就是添加更多的方程组，对于CT来说就是变换不同的角度扫描，采集更多的投影数据。
而采集过程中不可避免的会引入噪声，导致方程组不相容，对于超定方程组来说是无解的，我们很多情况下只能得到它的近似解。而且CT的矩阵十分庞大，运算量非常大，这也导致方程的求解变得很不现实。
2.2反投影
反投影提供一种求解衰减系数的新思路，直接反投影将获得投影值反投回去，反投其实就相当于把投影值分配给各个像素，由于事先并不知道真实的衰减系数分布，只能均匀的“涂抹” ，包括原先像素值为零的点，这样就会导致星状伪迹，造成图像模糊，边界不清。

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计算机模拟直接反投影导致的图像模糊、边缘失锐
2.3中心切片定理
为了解决这个问题， Bracewell利用傅里叶空间得出了中心切片定理和傅里叶重构算法，从数学上证明了，根据投影值是完全可以重建出原始图像的。二维图像的中心切片定理指出：密度函数f(x,y)的投影函数